Question

已知正项数列{a_n}，{b_n}满足a₁=3，a₂=6，{b_n}是等差数列，且对任意正整数n，都有成等比数列．
（ I）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，试比较2S_n与的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用正项数列{a_n}，{b_n}满足对任意正整数n，都有成等比数列，可得a_n=b_nb_n+1，结合{b_n}是等差数列，可求数列的公差，从而可求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）确定数列{a_n}的通项，利用裂项法求和，再作出比较，可得结论．
解答：解：（I）∵正项数列{a_n}，{b_n}满足对任意正整数n，都有成等比数列，
∴a_n=b_nb_n+1，
∵a₁=3，a₂=6，∴b₁b₂=3，b₂b₃=6
∵{b_n}是等差数列，∴b₁+b₃=2b₂，∴b₁=，b₂=
∴b_n=；
（Ⅱ）a_n=b_nb_n+1=，则=2（）
∴S_n=2[（）+（）+…+（）]=1-
∴2S_n=2-
∵=2-
∴2S_n-（）=
∴当n=1，2时，2S_n＜；当n≥3时，2S_n＞．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查大小比较，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键．