Question

如图, 已知边长为2的的菱形与菱形全等，且,平面平面，点为的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析； （Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证明线面平行，只需证明这条直线以平面内的一条直线平行即可，连结,易得为三角形的中位线，所以，，平面；要证明线线垂直，一般通过线面垂直得到，易得平面，，在菱形中，平面

（Ⅲ）利用等体积法即可，即

试题解析：（Ⅰ）连结, ..1分

因为四边形是菱形，

所以，,又,

所以，为三角形的中位线 .2分

所以，.

又平面,平面

平面 4分

（Ⅱ）因为四边形是菱形，所以。

又平面平面，且交线为

平面, 2分

又 平面

3分

在菱形中，,

4分

平面

平面 5分

6分

（Ⅲ）由题知，=2,故,

在三角形中，,,所以=. 1分

又,所以,所以是等边三角形，

所以,

所以 2分

又面，所以，点C到面的距离 3分

所以 4分

考点：立体几何的综合应用