题目内容
设函数f（x）=xn+x-1（（n∈N+，n≥2）．则f（x）在区间（
，1）内（ ）A．存在唯一的零点xn，且数列x2，x3，…，xn…单调递增
B．存在唯一的零点xn，且数列x2，x3，…，xn…单调递减
C．存在唯一的零点xn，且数列x2，x3，…，xn…非单调数列
D．不存在零点
【答案】分析：利用零点的判断方法只要判断
，说明函数f（x）在区间（
，1）内存在零点；利用导数可证明f（x）在区间（
，1）上单调，即可说明f（x）在区间（
，1）内存在唯一的零点．再利用条件证明零点单调即可．
解答：解：当n≥2时，
，f（1）=1＞0，∴
，∴f（x）在区间（
，1）内有零点．
又当x∈（
，1）时，f′（x）=nxn-1+1＞0，∴f（x）在区间（
，1）上单调递增．
故函数f（x）在区间（
，1）内存在唯一的零点xn．
下面证明所有零点组成的数列x2，x3，…，xn…单调递增．
由
，
，
，（i∈N+）（i≥2）可知：xn≠xn+1．
用反证法证明：必有xn＜xn+1．
如若不然，则xn+1＜xn．
∵
，于是
，
∴1=
＜
=1，矛盾．
故必有xn＜xn+1．
故选A．
点评：熟练掌握函数零点的判断方法、利用导数证明单调性及反证法是解题的关键．
，说明函数f（x）在区间（，1）内存在零点；利用导数可证明f（x）在区间（，1）上单调，即可说明f（x）在区间（，1）内存在唯一的零点．再利用条件证明零点单调即可．解答：解：当n≥2时，
，f（1）=1＞0，∴，∴f（x）在区间（，1）内有零点．又当x∈（
，1）时，f′（x）=nxn-1+1＞0，∴f（x）在区间（，1）上单调递增．故函数f（x）在区间（
，1）内存在唯一的零点xn．下面证明所有零点组成的数列x2，x3，…，xn…单调递增．
由
，，，（i∈N+）（i≥2）可知：xn≠xn+1．用反证法证明：必有xn＜xn+1．
如若不然，则xn+1＜xn．
∵
，于是，∴1=
＜=1，矛盾．故必有xn＜xn+1．
故选A．
点评：熟练掌握函数零点的判断方法、利用导数证明单调性及反证法是解题的关键．
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