Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为

1

2

，右准线为l：x=4．M为椭圆上不同于A，B的一点，直线AM与直线l交于点P．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若

AM

=

MP

，判断点B是否在以PM为直径的圆上，并说明理由；
（3）连接PB并延长交椭圆C于点N，若直线MN垂直于x轴，求点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）由题意建立方程组

c a = 1 2 a2 c =4

可求a²和b²的值，可写方程；
（2）要判断点B是否在圆上，可转化为判

BM

•

BP

是否为0；
（3）设点，写出直线的方程，分别和椭圆方程联立，可解得y_p=

6y1

x1+2

，和y_p=

-2y1

x1-2

，由两式相等可解得M坐标．

解答：解：（1）由

c a = 1 2 a2 c =4

解得

a=2 c=1

所以b²=3．
所以椭圆方程为

x2

4

+

y

3

2=1．                             …（4分）
（2）因为，

AM

=

MP

，所以x_M=1，代入椭圆得y_M=

3

2

，即M（1，

3

2

），
所以直线AM为：y=

1

2

（x+2），得P（4，3），
所以

BM

=（-1，

3

2

），

BP

=（2，3）．                       …（8分）
因为

BM

•

BP

=

5

2

≠0，所以点B不在以PM为直径的圆上．  …（10分）
（3）因为MN垂直于x轴，由椭圆对称性可设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）．
直线AM的方程为：y=

y1

x1+2

（x+2），所以y_p=

6y1

x1+2

，
直线BN的方程为：y=

-y1

x1-2

（x-2），所以y_p=

-2y1

x1-2

，…（12分）
所以

6y1

x1+2

=

-2y1

x1-2

．因为y₁≠0，所以

6

x1+2

=-

2

x1-2

．解得x₁=1．
所以点M的坐标为（1，±

3

2

）．                        …（16分）

点评：本题为椭圆与直线的位置关系的考查，涉及向量的知识和圆的知识，属中档题．