题目内容

给出以下四个命题：①若cosαcosβ=1，则sin（α+β）=0；②已知直线x=m与函数 $数学公式$ 的图象分别交于点M，N，则|MN|的最大值为 $数学公式$ ；③若数列a_n=n²+λn（n∈N₊）为单调递增数列，则λ取值范围是λ＜-2；④已知数列a_n的通项 $数学公式$ ，其前n项和为S_n，则使S_n＞0的n的最小值为12．其中正确命题的序号为________．

①②
分析：①若cosαcosβ=1，可知，α、β两角的同时在x轴正半轴或者在负半轴上，有此则可得sin（α+β）=0；
②已知直线x=m与函数 $\text{[math]}$ 的图象分别交于点M，N，则|MN|的最大值为 $\text{[math]}$ ，f（x）-g（x）的最大值即为|MN|的最大值，验证即可；
③若数列a_n=n²+λn（n∈N₊）为单调递增数列，则λ取值范围是λ＜-2，由二次函数的性质及数列的离散性特征转化出参数所满足的不等式即可；
④已知数列a_n的通项 $\text{[math]}$ ，其前n项和为S_n，则使S_n＞0的n的最小值为12，研究数列的前11项的值即可得出结论．
解答：①若cosαcosβ=1，则α、β两角的同时在x轴正半轴或者在负半轴上，故sin（α+β）=0，此命题正确；
②已知直线x=m与函数 $\text{[math]}$ 的图象分别交于点M，N，则|MN|的最大值为 $\text{[math]}$ ，由于|MN|=|f（x）-g（x）|=|sinx-cosx|=| $\text{[math]}$ sin（x- $\text{[math]}$ ）| $\text{[math]}$ ，此命题正确；
③若数列a_n=n²+λn（n∈N₊）为单调递增数列，则λ取值范围是λ＜-2，由二次函数的性质及数列的特征得 $\text{[math]}$ ，即λ＞-3，故此命题不对；
④已知数列a_n的通项 $\text{[math]}$ ，其前n项和为S_n，则使S_n＞0的n的最小值为12，数列前十一项的值分别为- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，故S₁₁＞0，使S_n＞0的n的最小值为11，此命题错误．
故答案为①②
点评：本题考查数列与函数的关系，数列的最值，三角函数的最值等，涉及到的知识点较多，判断较繁．

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