Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第2项，第5项，第14项分别是等比数列{b_n}的第2项，第3项，第4项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求数列{ 

1

anan+1

 }的前n项和s_n
（3）设数列{c_n}对任意自然数n，均有

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=an+1，求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₀₆值．

Answer 1

分析：（1）由等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第2项，第5项，第14项分别是等比数列{b_n}的第2项，第3项，第4项，知（1+d）（1+13d）=（1+4d）²，由此能求出数列{a_n}与{b_n}的通项公式．
（2）由a_n=2n-1，知

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），由此利用裂项求和法能求出数列{ 

1

anan+1

 }的前n项和S_n．
（3）由b_n=3^n-1，a_n+1=2n+1，对任意自然数n，均有

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=an+1，知当n=1时，c₁=3，当n≥2时，c_n=2•3^n-1，由此能求出c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₀₆．

解答：解：（1）∵等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，
且第2项，第5项，第14项分别是等比数列{b_n}的第2项，第3项，第4项，
∴（1+d）（1+13d）=（1+4d）²，
解得d=2．
a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
∵b₂=1+d=3，b₃=1+4d=9，b₄=1+13d=27，
∴b_n=3^n-1．
（2）∵a_n=2n-1，
∴

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴数列{ 

1

anan+1

 }的前n项和
S_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-3

-

1

2n-1

）+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．
（3）∵b_n=3^n-1，a_n+1=2n+1，对任意自然数n，均有

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=an+1，
∴当n=1时，c₁=3，
当n≥2时，

cn

bn

=a_n+1-a_n=（2n+1）-（2n-1）=2，∴c_n=2•3^n-1，
∴c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₀₆=3+2×3+2×3²+…+2×3²⁰⁰⁵=3+2×

3(1-32005)

1-3

=3+3×3²⁰⁰⁵-3=3²⁰⁰⁶．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．