Question

已知数列{a_n}的每一项都是正数，满足a₁=2，且a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0；等差数列{b_n}的前n项和为T_n，b₂=3，T₅=25．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）比较

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

与2的大小；
（3）若

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

＜c恒成立，求整数c的最小值．

Answer 1

分析：（1）整理a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0得（a_n+1-2a_n）（a_n+1+a_n）=0，进而求得a_n+1=2a_n，数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，进而根据等比数列通项公式求得a_n，根据b₂=3，T₅=25．求得等差数列的首项和公差进而求得b_n．
（2）由（1）得T_n，进而求得

1

Tn

，先看当n=1时

1

T1

＜2，进而利用

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

利用裂项法求和，进而求得

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

＜2-

1

n

＜2．
（3）令P_n=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

．把（1）中求得的a_n和b_n代入P_n，利用错位相减法求得P_n，进而判断P_n递增，求得P_n的范围，进而求得c的最小值．

解答：解：（1）a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0
得（a_n+1-2a_n）（a_n+1+a_n）=0，
由于数列{a_n}的每一项都是正数，∴a_n+1=2a_n，∴a_n=2ⁿ．
设b_n=b₁+（n-1）d，由已知有b₁+d=3，5b₁+

5×4

2

d=25，
解得b₁=1，d=2，∴b_n=2n-1．
（2）由（1）得T_n=n²，∴

1

Tn

=

1

n2

，
当n=1时，

1

T1

=1＜2．
当n≥2时，

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

．
∴

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

＜1+

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2．
（3）记P_n=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

．
∴

1

2

P_n=

1

22

+

3

23

++

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
两式相减得P_n=3-

2n+3

2n

．
∵P_n递增，∴

1

2

≤P_n＜3，P₄=

37

16

＞2，
∴最小的整数c=3．

点评：本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和问题．对于一些常用的数列的求和方法如公式法、错位相减法、叠加法、裂项法等应熟练掌握．