Question

已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M-BC′-B′的大小；
（Ⅲ）求三棱锥M-OBC的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK，证明MO⊥AA′，MO⊥BD′
OM是异面直线AA′和BD′都相交，即可证明OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；
（Ⅱ）取BB′中点N，连接MN，则MN⊥平面BCC′B′，过点N作NH⊥BC′于H，连接MH，说明∠MHN为二面角M-BC′-B′的平面角，解三角形求二面角M-BC′-B′的大小；
（Ⅲ）利用V_M-OBC=V_M-OA’D’=V_O-MA’D’，求出S_△MA’D’以及O到平面MA′D′距离h，即可求三棱锥M-OBC的体积．

解答：解：（Ⅰ）连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK
因为M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点
所以AM

∥ .

.

1

2

DD′

∥ .

.

OK
所以MO

∥ .

.

AK

由AA′⊥AK，得MO⊥AA′
因为AK⊥BD，AK⊥BB′，所以AK⊥平面BDD′B′
所以AK⊥BD′
所以MO⊥BD′
又因为OM是异面直线AA′和BD′都相交
故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线
（Ⅱ）取BB′中点N，连接MN，则MN⊥平面BCC′B′
过点N作NH⊥BC′于H，连接MH
则由三垂线定理得BC’⊥MH
从而，∠MHN为二面角M-BC′-B′的平面角
MN=1，NH=BNsin45°=

1

2

•

2

2

=

2

4

在Rt△MNH中，tan∠MHN=

MN

NH

=

1

2 4

=2

2

故二面角M-BC′-B′的大小为arctan2

2

（Ⅲ）易知，S_△OBC=S_△OA’D’，且△OBC和△OA′D′都在平面BCD′A′内
点O到平面MA′D′距离h=

1

2

V_M-OBC=V_M-OA’D’=V_O-MA’D’=

1

3

S_△MA’D’h=

1

24

点评：本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力．