Question

（2013•惠州一模）如图，ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．
（1）证明：MN∥平面A₁ACC₁；
（2）求二面角N-MC-A的正弦值．

Answer 1

分析：（1）如图所示，取A₁B₁的中点P，连接MP，NP．利用三角形的中位线定理可得NP∥A₁C₁，MP∥B₁B；再利用线面平行的判定定理可得NP∥平面A₁ACC₁；MP∥平面A₁ACC₁；利用面面平行的判定定理可得平面MNP∥平面A₁ACC₁；进而得到线面平行MN∥平面A₁ACC₁；
（2）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出．

解答：解：（1）如图所示，取A₁B₁的中点P，连接MP，NP．
又∵点M，N分别为A₁B和B₁C₁的中点，∴NP∥A₁C₁，MP∥B₁B，
∵NP?平面MNP，A₁C₁?平面MNP，∴NP∥平面A₁ACC₁；
同理MP∥平面A₁ACC₁；
又MP∩NP=P，
∴平面MNP∥平面A₁ACC₁；
∴MN∥平面A₁ACC₁；
（2）侧棱与底面垂直可得A₁A⊥AB，A₁A⊥AC，及AB⊥AC，可建立如图所示的空间直角坐标系．
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A₁（0，0，2），B₁（2，0，2），C₁（0，2，2），N（1，1，2），M（1，0，1）．
∴

MC

=（-1，2，-1），

CN

=（1，-1，2），

AC

=（0，2，0）．
设平面ACM的法向量为

n1

=（x₁，y₁，z₁），则

n1 • AC =2y1=0 n1 • MC =-x1+2y1-z1=0

，令x₁=1，则z₁=-1，y₁=0．
∴

n1

=（1，0，-1）．
设平面NCM的法向量为

n2

=（x₂，y₂，z₂），则

n2 • MC =-x2+2y2-z2=0 n2 • CN =x2-y2+2z2=0

，令x₂=3，则y₂=1，z₂=-1．
∴

n2

=（3，1，-1）．
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

| n1 • n2 |

| n1 | | n2 |

=

3+1

2 • 32+12+(-1)2

=

2 22

11

．
设二面角N-MC-A为θ，则sinθ=

1-cos2＜ n1 ， n2 ＞

=

1-( 2 22 11 )2

=

33

11

．
故二面角N-MC-A的正弦值为

33

11

．

点评：本题综合考查了线面平行、面面平行、二面角、三角形的中位线定理、平面的法向量等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．