Question

【题目】已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，是坐标原点．

（1）若直线过点且，求直线的方程；

（2）已知点，若直线不与坐标轴垂直，且，证明：直线过定点．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

（1）法一：焦点，当直线斜率不存在时，方程为，说明不符合题意，故直线的斜率存在，设直线方程为与联立得，利用韦达定理转化求解，求解直线方程．

法二：焦点，显然直线不垂直于轴，设直线方程为，与联立得，设，，利用韦达定理以及距离公式，转化求解即可．

（2）设，，设直线方程为与联立得：，通过韦达定理以及斜率关系，求出直线系方程，即可推出结果．

解：（1）法一：焦点，

当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线的交点坐标分别为，，

此时，不符合题意，故直线的斜率存在．

设直线方程为与联立得，

当时，方程只有一根，不符合题意，故.，

抛物线的准线方程为，

由抛物线的定义得，

解得，

所以方程为或.

法二：焦点，显然直线不垂直于轴，设直线方程为,

与联立得，设，，，.

，

由，解得，

所以方程为或.

（2）设，，

设直线方程为与联立得：，

可得，.

由得，即.

整理得，即，

整理得，

即，即.

故直线方程为过定点.