题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ - $数学公式$ （a＞0，x＞0）．
（1）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求a的取值范围．

解：（1）∵f（x）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，且a＞0，
∴转化为a≥ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）= $\text{[math]}$ （当且仅当2x= $\text{[math]}$ 即x= $\text{[math]}$ 时取等号），
即g（x）≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
要使a≥ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （0，+∞）上恒成立，则a≥ $\text{[math]}$ ，
故a的取值范围是[ $\text{[math]}$ ，+∞）．

（2）任取x₁＞x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ＜0，
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∵f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n）
∴m=f（m），n=f（n），即am²-m+a=0，an²-n+a=0．
故方程ax²+x+a=0有两个不相等的正根m，n，
注意到m•n=1，则只需要△=（1）²-4a²＞0，由于a＞0，则0＜a＜ $\text{[math]}$ ．
故（1）的答案为 $\text{[math]}$
（2）的答案为0＜a＜ $\text{[math]}$
分析：（1）要使得f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，即转化为a≥ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上恒成立，在利用基本不等式即可求解
（2）根据函数的单调性得到m=f（m），n=f（n），在将之转化为方程ax²+x+a=0有两个不相等的正根，根据一元二次方程gender分布即可求解．
点评：本题考查了函数的单调性和最值的应用，另外基本不等式和一元二次方程根的分布也是阶梯的关键，属于基础题．