Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E、F分别为AD₁、BD的中点．
（1）求证：EF∥平面B₁D₁C；
（2）求二面角B₁-D₁C-A的大小；
（3）求三棱锥B₁-ACD₁的体积．

Answer 1

分析：（1）证明EF∥平面B₁D₁C，利用线面平行的判定定理，只需证明EF∥D₁C；
（2）取D₁C的中点M，连接AM，B₁M，B₁A，证明∠AMB₁为二面角B₁-D₁C-A的平面角，计算AM=

6

2

，B1M=

6

2

，B1A=

2

，利用余弦定理，即可求得二面角B₁-D₁C-A的大小；
（3）利用V_B1-ACD1=V_{ABCD-A1B1C1D1}-4V_B1-ABC，即可求得三棱锥B₁-ACD₁的体积．

解答：（1）证明：连接AC，在△AD₁C中，
∵F为BD的中点，∴F为AC的中点
∵E为AD₁的中点，
∴EF∥D₁C
∵EF?平面B₁D₁C，D₁C?平面B₁D₁C
∴EF∥平面B₁D₁C；
（2）解：取D₁C的中点M，连接AM，B₁M，B₁A
∵△AD₁C为正三角形，M为CD₁的中点
∴AM⊥D₁C
同理，在正三角形B₁D₁C，B₁M⊥D₁C
∴∠AMB₁为二面角B₁-D₁C-A的平面角
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1
∴AM=

6

2

，B1M=

6

2

，B1A=

2

∴cos∠AMB₁=

1

3

∴二面角B₁-D₁C-A的大小为arccos

1

3

；
（3）解：V_B1-ACD1=V_{ABCD-A1B1C1D1}-4V_B1-ABC=1-4×

1

3

×

1

2

×1×1=

1

3

点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查三棱锥的体积，解题的关键是掌握线面平行的判定定理，正确作出面面角，属于中档题．