Question

（2011•孝感模拟）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

m

=(a+c，a-b)，

n

=(sinA-sinC，-sinB)，且

m

⊥

n

．
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）设函数f（x）=sin

x

2

+2cos2

x

4

，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（I）通过向量的数量积，余弦定理，直接求出角C的大小；
（Ⅱ）利用二倍角公式辅助角公式化简函数f（x）=sin

x

2

+2cos2

x

4

，通过C的值，推出A的范围，然后确定f（A）的取值范围．

解答：解：（I）因为

m

=(a+c，a-b)，

n

=(sinA-sinC，-sinB)且

m

⊥

n

，
（a+c，a-b）•（sinA-sinC，-sinB）=0，
可得（a+c）（a-c）=（a-b）b，
即：ab=a²+b²-c²，
cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，C∈（0，π）
C=

π

3

．
（Ⅱ）函数f（x）=sin

x

2

+2cos2

x

4

=sin

x

2

+cos

x

2

+1
=

2

sin（

x

2

+

π

4

）+1，
f（A）=

2

sin（

A

2

+

π

4

）+1又C=

π

3

，
∴A+B=

2π

3

，∴0＜A＜

2π

3

，
∴

π

4

＜

A

2

+

π

4

＜

7π

12

，
又∵sin

π

4

＜sin

7π

12

，
∴

2

2

＜sin(

A

2

+

π

4

) ≤1．
2＜f(A)≤

2

+1．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，向量的数量积、余弦定理的应用，考查计算能力．