Question

已知点P是双曲线右支上一点，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF₁F₂的内心，若成立，则双曲线的离心率为（ ）
A．4
B．
C．2
D．

Answer 1

【答案】分析：设圆I与△PF₁F₂的三边F₁F₂、PF₁、PF₂分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，可得△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形．利用三角形面积公式，代入已知式，化简可得|PF₁|-|PF₂|=，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．
解答：解：如图，设圆I与△PF₁F₂的三边F₁F₂、PF₁、PF₂分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，
则IE⊥F₁F₂，IF⊥PF₁，IG⊥PF₂，它们分别是△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂的高，
∴，
，其中r是△PF₁F₂的内切圆的半径．
∵
∴=+
两边约去得：|PF₁|=|PF₂|+
∴|PF₁|-|PF₂|=
根据双曲线定义，得|PF₁|-|PF₂|=2a，=c
∴2a=c⇒离心率为e=
故选C
点评：本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题．