Question

设函数f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函数（a，b，c都是整数）且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＜0，f（x）的单调性如何？用单调性定义证明你的结论；
（3）当x＞0时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函数，得f（-x）=-f（x）对定义域内x恒成立，可求得c=0，f（1）=2，f（2）＜3，（a，b，c都是整数）可求得a=b=1；
（2）设x₁＜x₂≤-1，可得f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）＜0，故f（x）在（-∞，-1]上单调递增；同理，可证f（x）在[-1，0）上单调递减；
（3）由f（x）=x+

1

x

为奇函数，f（x）在（-∞，-1]上单调递增，f（x）在[-1，0）上单调递减，可得f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在[1，+∞）上单调递增，从而可求得当x＞0时，求函数f（x）的最小值．

解答：解：（1）由f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函数，得f（-x）=-f（x）对定义域内x恒成立，则

a(-x)2+1

b(-x)+c

=-

ax2+1

bx+c

，
∴-bx+c=-（bx+c）对定义域内x恒成立，
即c=0；（或由定义域关于原点对称得c=0）
又f（1）=2，f（2）＜3，
∴

a+1 b =2① 4a+1 2b ＜3②

由①得a=2b-1代入②得

2b-3

2b

＜0，
∴0＜b＜

3

2

，又a，b，c是整数，得b=a=1．
（2）由（1）知，f（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

，当x＜0，f（x）在（-∞，-1]上单调递增，在[-1，0）上单调递减．下用定义证明之．
设x₁＜x₂≤-1，则f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-（x₂+

1

x2

）=x₁-x₂-

x1-x2

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

），
因为x₁＜x₂≤-1，x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）在（-∞，-1]上单调递增；
同理，可证f（x）在[-1，0）上单调递减．
（3）∵f（x）=x+

1

x

为奇函数，由（2）可知，f（x）在（-∞，-1]上单调递增，f（x）在[-1，0）上单调递减，
∴f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴当x＞0时，求函数f（x）的最小值为f（1）=1+1=2．

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合，着重考查双钩函数的性质及其应用，考查分析、转化、推理证明与运算能力，属于中档题．