题目内容

有如下结论：“圆x2+y2=r2上一点P（x，y）处的切线方程为xy+yy=r2”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
（1）求证：直线AB恒过一定点；
（2）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．
【答案】分析：（1）设出M的坐标，及2个切点的坐标，由椭圆方程写出切线方程，把M的坐标代入切线方程，得到2个切点所在的直线方程，把右焦点坐标代入检验．
（2）把AB的方程代入椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，求出2根之和、2根之积，用弦长公式求弦长|AB|，再求出M 到AB的距离d，计算面积．
解答：解：
（1）设M
∵点M在MA上∴，同理可得②（3分）
由①②知AB的方程为（4分）
易知右焦点F（）满足③式，（5分）
故AB恒过椭圆C的右焦点F（）（6分）
（2）把AB的方程 x=（1-y）代入椭圆化简得，7y2-6y-1=0，
y1+y2=，y1•y2=-
∴|AB|=•|y1-y2|=•=，
又M 到AB的距离d==，
△ABM的面积 S=•|AB|•d=．
点评：本题考查直线过定点、弦长公式、及点到直线的距离公式．
练习册系列答案
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有如下结论：“圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）处的切线方程为x0y+y0y=r2”，类比也有结论：“椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)处的切线方程为
x
 
0
x
a2
+
y0y
b2
=1”，过椭圆C：
x2
4
+y2=1的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
（1）求证：直线AB恒过一定点；
（2）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，|F1F2|=4
2
，离心率e=
2
2
3
．过直线l：x=
a2
c
上任意一点M，引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
（1）在圆中有如下结论：“过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）处的切线方程为：x0x+y0y=r2”．由上述结论类比得到：“过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），上一点P（x0，y0）处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）．
（2）利用（1）中的结论证明直线AB恒过定点（2
2
，0）；
（3）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．
有如下结论：“圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）处的切线方程为x0y+y0y=r2”，类比也有结论：“椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点P（x0，y0）处的切线方程为
x0x
a2
+
y0y
b2
=1”，过椭圆C：
x2
2
+y2=1的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B．直线AB恒过一定点
（1，0）
（1，0）
．
已知椭圆C：，（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，，离心率．过直线l：上任意一点M，引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
（1）在圆中有如下结论：“过圆x2+y2=r2上一点P（x，y）处的切线方程为：xx+yy=r2”．由上述结论类比得到：“过椭圆（a＞b＞0），上一点P（x，y）处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）．
（2）利用（1）中的结论证明直线AB恒过定点（）；
（3）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．
已知椭圆C：，（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，，离心率．过直线l：上任意一点M，引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
（1）在圆中有如下结论：“过圆x2+y2=r2上一点P（x，y）处的切线方程为：xx+yy=r2”．由上述结论类比得到：“过椭圆（a＞b＞0），上一点P（x，y）处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）．
（2）利用（1）中的结论证明直线AB恒过定点（）；
（3）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．

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