题目内容

设定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R），当x=-1时f（x）取得极大值 $数学公式$ ，且函数y=f（x）为奇函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）设 $数学公式$ ，求证： $数学公式$ ．

（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由f（x）为奇函数知 b=d=0…2′
又f′（-1）=0且f（-1）= $\text{[math]}$ ∴f（x）= $\text{[math]}$ …4′
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=x²-1
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …6′
因为当 $\text{[math]}$ 时，f′（x）=x²-1＜0，即函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上递减∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ …8′
又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …10′
又因为当 $\text{[math]}$ 时，f′（x）=x²-1＞0，即函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上递增；
当 $\text{[math]}$ 时，f′（x）=x²-1＜0，即函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上递减
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
即： $\text{[math]}$ …12′
∴ $\text{[math]}$ …13′
分析：（Ⅰ）通过函数y=f（x）为奇函数，求出 b=d=0，当x=-1时f（x）取得极大值，导数为0，求出a，c，即可求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）求出函数的导数，求出x_n的范围，推出 $\text{[math]}$ ，类比求出 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，即可求证： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查函数的导数的应用，导数的极值、单调性，函数的解析式的求法，以及不等式的证明．难度较大，考查转化思想，计算能力．