Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（a＞0，x∈R）有且只有一个零点，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=1-

4

an

(n∈N*)，定义所有满足c_m•c_m+1＜0的正整数m的个数，称为这个数列{c_n}的变号数，求数列{c_n}的变号数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由二次函数f（x）=x²-ax+a（a＞0，x∈R）有且只有一个零点可通过△=a²-4a=0求出a值，从而求得S_n=n²-4n+4，最后根据通项与前n项和的关系求解．
（Ⅱ）将（I）的结论代入，可得cn=

-3(n=1) 1- 4 2n-5 (n≥2，n∈N*)

根据c_m•c_m+1＜0可知，当n≥5时，恒有a_n＞0，前四项求出，则易得变号的数．

解答：解：（Ⅰ）依题意，△=a²-4a=0?a=0或a=4
又由a＞0得a=4，f（x）=x²-4x+4
∴S_n=n²-4n+4
当n=1时，a₁=S₁=1-4+4=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-5
∴an=

1(n=1) 2n-5(n≥2)

（6分）
（Ⅱ）由题设cn=

-3(n=1) 1- 4 2n-5 (n≥2，n∈N*)

由1-

1

2n-5

=

2n-9

2n-5

＞0可知，
当n≥5时，恒有a_n＞0（8分）
又c₁=-3，c₂=5，c₃=-3，c4=-

1

3

即c₁•c₂＜0，c₂•c₃＜0，c₄•c₅＜0
所以，数列{c_n}共有三个变号数，即变号数为3．（12分）

点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了函数的零点，数列的通项与前n项和间的关系，以及构造数列，研究其性质等问题，综合性较强，属中档题．