Question

已知函数f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2011

2011

则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）在（-1，0）上恰有一个零点

B．f（x）在（0，1）上恰有一个零点

C．f（x）在（-1，0）上恰有两个零点

D．f（x）在（0，1）上恰有两个零点

Answer 1

分析：先求出 f（0）和f（-1）的值，根据 f（0）•f（-1）＜0，再由导数的符号判断f（x）在（-1，0）上是增函数，从而得出结论．

解答：解：由于函数f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2011

2011

，
故f（0）=1，f（-1）=（-

1

2

+

1

3

）+（-

1

4

+

1

5

）+…+（-

1

2010

 

1

2011

）＜0，故有 f（0）•f（-1）=f（-1）＜0．
当x∈（-1，0）时，f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰⁰⁹-x²⁰¹⁰=

1-(-x)2011

1+x

=

1+x2011

1+x

＞0，
故f（x）在（-1，0）上是增函数，故f（x） 恰有一个零点，
故选A．

点评：本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．