Question

有甲、乙、丙、丁四名网球运动员，通过对过去战绩的统计，在一场比赛中，甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为0.6，0.8，0.9．
（Ⅰ）若甲和乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率；
（Ⅱ）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，求甲恰好胜两场的概率．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵甲对乙取胜的概率分别为0.6
甲和乙之间进行三场比赛，可以看做3次独立重复试验，
甲恰好胜两场的概率为P₁=C₃²×0.6²×0.4=0.432．
（Ⅱ）记“甲胜乙”，“甲胜丙”，“甲胜丁”三个事件分别为A，B，C，
则P（A）=0.6，P（B）=0.8，P（C）=0.9．
则四名运动员每两人之间进行一场比赛，
甲恰好胜两场的概率为
=P（A）•P（B）•[1-P（C）]+P（A）•[1-P（B）]•P（C）+[1-P（A）]•P（B）•P（C）
=0.6×0.8×0.1+0.6×0.2×0.9+0.4×0.8×0.9
=0.444．
分析：（Ⅰ）甲对乙取胜的概率分别为0.6，甲和乙之间进行三场比赛，可以看做3次独立重复试验，根据独立重复试验的概率公式得到结果．
（Ⅱ）四名运动员每两人之间进行一场比赛，“甲胜乙”和“甲胜丙”和“甲胜丁”三个事件是互斥事件，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率，得到结果．
点评：本题考查独立重复试验，考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，是一个综合题，解题的关键是看清事件是什么事件，从而正确选择公式．