Question

设函数f（x）=x²-|x|-k²，下列判断：
①存在实数k，使得函数f（x）有且仅有一个零点；
②存在实数k，使得函数f（x）有且仅有两个零点；
③存在实数k，使得函数f（x）有且仅有三个零点；
④存在实数k，使得函数f（x）有且仅有四个零点．
其中正确的是

②③

（填相应的序号）．

Answer 1

分析：将方程x²-|x|-k²=0的问题转化成函数y=x²-|x|与函数y=k²图象的交点问题，画出图象可得．

解答：解：关于x的方程x²-|x|-k²=0，可化为x²-|x|=k²． 
分别画出函数y=x²-|x|和y=k²的图象，如图所示：
由图可知，它们的交点情况是：恰有2，或3个不同的交点．
当k=0时，函数y=x²-|x|和y=k²的图象又3个交点，函数f（x）有且仅有三个零点．
当k≠0时，函数y=x²-|x|和y=k²的图象又2个交点，函数f（x）有且仅有2个零点．
故答案为 ②③．

点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．