题目内容
已知f（x）=x3+x（x∈R），?（1）判断f（x）在（－∞，+∞）上的单调性，并证明；?
（2）求证：满足f（x）=a（a为常数）的实数x至多只有一个.?
（1）解:设x1<x2，即x1－x2<0,?
f（x1）－f（x2）=（x13+x1）－（x23+x2）=（x13－x23）+（x1－x2）=（x1－x2）（x12+x1x2+x22+1）
=（x1－x2）［（x1+
）2+
x22+1］<0.?
∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）<f（x2）.?
因此f（x）=x3+x在R上是增函数.?
（2）证明:假设x1<x2且f（x1）=f（x2）=a,?
由f（x）在R上递增,∴f（x1）<f（x2）.?
此与f（x1）=f（x2）矛盾.?
∴原命题正确.?
点评:证明二次函数在给定区间上的单调性时，变形的主要手段是配方，通过配方达到判断符号的目的.
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