Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是AB=2，BC=3的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求证：面PAD⊥面PAB．
（Ⅱ）求二面角P-CD-A的大小．

Answer 1

分析：（1）由于侧面PAB⊥底面ABCD，直接利用面面垂直的性质可得BC⊥侧面PAB，由BC∥AD得AD⊥侧面PAB，利用面面垂直的判定可得侧面PAD⊥侧面PAB．
（2）取AB中点O，取CD中点E，以OB为x轴，以OE为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-CD-A的大小．

解答：（1）证明：∵侧面PAB⊥底面ABCD，
且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB，
∴在矩形ABCD中，BC⊥侧面PAB，
在矩形ABCD中，AD∥BC，BC⊥侧面PAB，
∴AD⊥侧面PAB，
又AD?平面PAD，∴侧面PAD⊥侧面PAB．
（2）解：取AB中点O，取CD中点E，以OB为x轴，以OE为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵四棱锥P-ABCD的底面是AB=2，BC=3的矩形，侧面PAB是等边三角形，
∴P（0，0，

3

），C（1，3，0），D（-1，3，0），
∴

PC

=（1，3，-

3

），

PD

=(-1，3，-

3

），
设平面PCD的法向量

m

=（x，y，z），则

m

•

PC

=0，

m

•

PD

=0，
∴

x+3y- 3 z=0 -x+3y- 3 z=0

，解得

m

=（0，

3

，3），
∵平面CDA的法向量

n

=（0，0，1），
∴二面角P-CD-A的平面角的余弦值为|cos＜

m

，

n

＞|=|

3

12

|=

3

2

，
∴二面角P-CD-A的平面角为

π

3

．

点评：本题考查了面面垂直的判定定理和性质定理，考查了二面角的求法，它们是实现线面垂直和面面垂直之间转化的桥梁，解题时要注意向量法的合理运用．