Question

已知函数f（x）=|log₂（x+1）|，实数m、n在其定义域内，且m＜n，f（m）=f（n）.

求证：（1）m+n＞0；

（2）f（m²）＜f（m+n）＜f（n²）.

Answer 1

证明略

解析:

由f（m）=f（n），得|log₂（m+1）|=|log₂（n+1）|，即log₂（m+1）=±log₂（n+1），

log₂（m+1）=log₂（n+1），                                           ①

或log₂（m+1）=log₂.                                            ②

由①得m+1=n+1，与m＜n矛盾，舍去.

由②得m+1=，即（m+1）（n+1）=1.                     ③

∴m+1＜1＜n+1.∴m＜0＜n.∴mn＜0.

由③得mn+m+n=0，m+n=－mn＞0.

证法二：（同证法一得）（m+1）（n+1）=1.

∵0＜m+1＜n+1，∴＞=1.∴m+n+2＞2.∴m+n＞0.

（2）证明：当x＞0时，f（x）=|log₂（x+1）|=log₂（x+1）在（0，+∞）上为增函数.

由（1）知m²－（m+n）=m²+mn=m（m+n），且m＜0，m+n＞0，∴m（m+n）＜0.

∴m²－（m+n）＜0，0＜m²＜m+n.

∴f（m²）＜f（m+n）.

同理，（m+n）－n²=－mn－n²=－n（m+n）＜0，

∴0＜m+n＜n².∴f（m+n）＜f（n²）.

∴f（m²）＜f（m+n）＜f（n²）.