Question

已知函数f(x)=

2

x

-log2

1+mx

1-x

是奇函数．
（1）求m的值；
（2）请讨论它的单调性，并给予证明．

Answer 1

（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）+f（x）=0；
即(-

2

x

-log2

1-mx

1+x

)+(

2

x

-log2

1+mx

1-x

)=0，解得：m=1，其中m=-1（舍）；
经验证当m=1时，f(x)=

2

x

-log2

1+x

1-x

(x∈(-1，0)∪(0，1))确是奇函数．
（2）先研究f（x）在（0，1）内的单调性，任取x₁、x₂∈（0，1），且设x₁＜x₂，则
f(x1)-f(x2)=

2

x1

-

2

x2

+[lo g2(

2

1-x2

-1)-log2(

2

1-x1

-1)]，
由

2

x1

-

2

x2

＞0，log2(

2

1-x2

-1)-log2(

2

1-x1

-1)＞0，
得f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在（0，1）内单调递减；
由于f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数f（x）在（-1，0）内单调递减．