Question

用定义法证明函数f（x）=

x2

x2-1

在区间（0，1）是减函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得．

解答： 解：设 x₁，x₂∈（0，1）且 x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

x 2 1

x 2 1 -1

-

x 2 2

x 2 2 -1

=

x 2 2 -x 2 1

( x 2 1 -1)( x 2 2 -1)

=

(x2-x1)(x2+x1)

(x1-1)(x1+1)(x2-1)(x2+1)

，
∵x₁＜x₂∴x₂-x₁＞0，
∵x₁，x₂∈（0，1）∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-1＜0，x₂-1＜0，
∴f（ x₁）-f（ x₂）＞0，即f（ x₁）＞f（ x₂），
所以，函数f(x)=

x2

x2-1

在区间（0，1）是减函数．

点评：本题考查函数单调性的定义，考查单调性的证明，利用单调性的证明步骤是解题的关键．