Question

【题目】如图，已知为椭圆上的点，且，过点的动直线与圆相交于两点，过点作直线的垂线与椭圆相交于点．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若，求．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）根据题意列方程组： ，解方程组可得， ，再根据离心率定义求椭圆的离心率；（2）先根据垂径定理求圆心到直线的距离,再根据点到直线距离公式求直线AB的斜率,根据垂直关系可得直线PQ的斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求．

试题解析：解：（1）依题知，

解得，所以椭圆的离心率；

（2）依题知圆的圆心为原点，半径为，

所以原点到直线的距离为，

因为点坐标为，所以直线的斜率存在，设为．

所以直线的方程为，即，

所以，解得或．

①当时，此时直线的方程为，

所以的值为点纵坐标的两倍，即；

②当时，直线的方程为，

将它代入椭圆的方程，消去并整理，得，

设点坐标为，所以，解得，

所以．