Question

已知函数f(x)=

x

(x-a)(a∈R)．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（a）为f（x）在[0，2]上的最小值，求出g（a）的表达式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，再分类讨论：a≤0时，f′（x）≥0恒成立，函数单调增；a＞0时，令f′（x）＞0，可得函数单调增区间；令f′（x）＜0，x≥0，可得函数单调减区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a≤0时，f（x）在[0，2]上单调增，g（a）=f（0）；a＞0时，g（a）=f（x）_min=f（

a

3

）=-

2a 3a

9

，由此可得g（a）的表达式．

解答：解：（Ⅰ）求导函数可得：f′(x)=

3x-a

2 x

（x≥0）
∴a≤0时，f′（x）≥0恒成立，函数单调增，单调增区间为（-∞，+∞）；
a＞0时，令f′（x）＞0，可得x＞

a

3

；令f′（x）＜0，x≥0，可得0≤x＜

a

3

∴单调增区间为(

a

3

，+∞）；单调减区间为[0，

a

3

)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a≤0时，f（x）在[0，2]上单调增，∴g（a）=f（x）_min=f（0）=0；
a＞0时，g（a）=f（x）_min=f（

a

3

）=-

2a 3a

9

；
∴g（a）=

0，a≤0 - 2a 3a 9 ，a＞0

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，合理分类．