题目内容

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=
1
2

（1）求f（
1
2
），f（
1
n
）+f（
n-1
n
）的值；
（2）若数列{an}满足an=f（0）+f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）+f（1），求数列{an}的通项公式；
（3）设bn=
4
4an-1
（n∈N+），cn=bnbn+1，求数列{cn}的前n项和Tn．
（1）在f（x）+f（1-x）=
1
2
中，
令x=
1
2
，可得f（
1
2
）+f（
1
2
）=
1
2
，所以f（
1
2
）=
1
4

令x=
1
n
，可得f（
1
n
）+f（
n-1
n
）=
1
2

（2）an=f（0）+f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）+f（1），又可以写成
an=f（1）+f（
n-1
n
）+f（
n-2
n
）+…+f（
1
n
）+f（0），
两式相加得，2an=[f（0）+f（1）]+[f（
1
n
）+f（
n-1
n
）]+…[f（1）+f（0）]
=（n+1）[f（0）+f（1）]=
n+1
2

∴an=
n+1
4

（3）bn=
4
4an-1
=
4
n
，cn=bnbn+1=
4
n
•
4
n+1
=16（
1
n
-
1
n+1
）

∴Tn=16[（
1
1
-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)+（
1
2
-
1
3
）+…+（
1
n
-
1
n+1
）]=16（1-
1
n+1
）=
16n
n+1
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=ex，直线l的方程为y=kx+b．
（1）求过函数图象上的任一点P（t，f（t））的切线方程；
（2）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：f（x）≥kx+b对任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b对任意x∈[0，+∞）成立，求实数k、b应满足的条件．
若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
（1）若x2-1比1远离0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab
ab
；
（3）已知函数f（x）的定义域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．
若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．
已知函数f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）证明函数y=f（x）的图象关于点（0，
1
2
）对称；
（Ⅱ）设y=f-1(x)为y=f(x)的反函数，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在实数b，使得任给a∈[
1
4
，
1
3
]，对任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范围；若不存在，说明理由．
（2012•海淀区一模）已知函数f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，则f（f（x））=
1
1

下面三个命题中，所有真命题的序号是
①②③
①②③
．
①函数f（x）是偶函数；
②任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立；
③存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．

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