Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，直线l₁过定点A（1，0）．
（1）若l₁与圆相切，求l₁的方程；
（2）若l₁与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l₁与l₂：x+2y+2=0的交点为N，判断AM•AN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

解：（1）①若直线l₁的斜率不存在，即直线x=1，符合题意．（2分）
②若直线l₁斜率存在，设直线l₁为y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l₁的距离等于半径2，
即 解之得 ．
所求直线方程是x=1，3x-4y-3=0．（5分）
（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0
由 得 又直线CM与l₁垂直，
得 ．

∴AM*AN=为定值．（10分）
分析：（1）由直线l₁与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求得直线方程，注意分类讨论；
（2）分别联立相应方程，求得M，N的坐标，再求AM•AN．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．