Question

已知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R．求：
（1）函数f（x）的最小值及取得最小值的自变量x的集合；
（2）函数f（x）的单调减区间．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的正余弦公式，结合辅助角公式化简得f（x）=2+

2

sin(2x+

π

4

)，根据正弦函数的图象与性质解关于x的等式，即可得到f（x）的最小值和取得最小值的自变量x的集合；
（2）根据正弦函数的单调区间的结论，解关于x的不等式得

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ(k∈Z)，即可得到函数f（x）的单调减区间．

解答：解：（1）∵cos²x=

1

2

（1+cos2x），sin²x=

1

2

（1-cos2x），2sinxcosx=sinx
∴f(x)=

1-cos2x

2

+sin2x+

3(1+cos2x)

2

=1+sin2x+cos2x=2+

2

sin(2x+

π

4

)
当sin(2x+

π

4

)=-1时，f（x）取得最小值2-

2

；
此时2x+

π

4

=-

π

2

+2kπ，即x=-

3π

8

+kπ(k∈Z)
∴函数f（x）的最小值2-

2

，取得最小值的自变量x的集合为{x/x=-

3π

8

+kπ，k∈Z}．
（2）由题意，解不等式

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)
得

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ(k∈Z)
∴函数f（x）的单调减区间为[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ](k∈Z)．

点评：本题将一个三角函数式化简，并求函数的单调区间与最值．着重考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质和函数图象单调性等知识，属于中档题．