题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的右焦点为F，过点P（5，0）的直线l与椭圆C交于Q、R，且 $数学公式$ ．
（1）若 $数学公式$ ，求直线l的方程；
（2）试用λ表示Q点的横坐标，并求出λ的最大值；
（3）若点S是点R关于x轴的对称点，求证： $数学公式$ ．

（1）解：设R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则
∵ $\text{[math]}$ ，∴（x₁-5，y₁）= $\text{[math]}$ （x₂-5，y₂）
∴x₁= $\text{[math]}$ x₂- $\text{[math]}$ ，y₁= $\text{[math]}$ y₂，
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∵P（5，0），∴直线l的斜率为± $\text{[math]}$
∴直线l的方程为y=± $\text{[math]}$ （x-5）；
（2）解：∵ $\text{[math]}$ ，∴（x₁-5，y₁）=λ（x₂-5，y₂）
∴x₁=λx₂-5λ+5，y₁=λy₂，
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
当且仅当P，Q，R在长轴上时，λ最大，此时 $\text{[math]}$ ，
∴λ= $\text{[math]}$
（3）证明：由（2）知，S（x₁，-y₁），F（1，0）
∴ $\text{[math]}$ =（1-x₁，y₁）， $\text{[math]}$ =（x₂-1，y₂），
∵x₁=λx₂-5λ+5，y₁=λy₂， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）设R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用 $\text{[math]}$ ，可得坐标之间的关系，再利用点在椭圆上，求得点的坐标，即可求得直线l的方程；
（2）利用 $\text{[math]}$ ，可得坐标之间的关系，再利用点在椭圆上，求得点的坐标，当且仅当P，Q，R在长轴上时，λ最大；
（3）由（2）知，S（x₁，-y₁），F（1，0），用坐标表示向量，即可证得结论．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合，考查向量知识的运用，解题的关键是确定坐标之间的关系．