Question

已知函数f(x)=ln(1+x²)+ax(a≤0)．

(Ⅰ)若f(x)在x=0处取得极值，求a的值；

(Ⅱ)讨论f(x)的单调性；

(Ⅲ)证明：(1+)(1+)…(1+)(n∈N₊，e为自然对数的底数)．

Answer 1

(Ⅰ)∵f′(x)=,∵x=0使f(x)的一个极值点则f′(0)=0a=0,验证知a=0符合条件 

(Ⅱ)∵f′(x)=

i)若a=0时, ∵f′(x)   f′(x)＜0x＜0

∴f(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减 

ii)若时,f′(x)≤0时,x∈R恒成立,

∴f(x)在R上单调递减

iii)若-1＜a＜0时,由f′(x)＞0ax²+2x+a＞0

再令f′(x)＜0,可得x＞

∴f(x)在单调递增,

在(-∞,)和(,+∞)上单调递减

综上所述,若a≤-1时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递减;若-1＜a＜0时,f(x)在(,)单调递减

在上单调递减,上单调递减

若a=0时,f(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减 

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当a=-1时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递减

当x∈(0,+∞)时,由f(x)＜f(0)=0  ∴ln(1+x²)＜x 

∴ln［(1+)(1+)…(1+)］

=(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)＜

∴(1+)(1+)…(1+)＜,命题得证.