Question

（2012•绵阳三模）正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．
（I）求证：BD₁∥平面A₁DE；
（II）求二面角D₁-A₁E-D的大小；
（III）求多面体A₁D₁DBE的体积．

Answer 1

分析：（I）证明BD₁∥面A₁DE，利用线面平行的判定定理，连接AD₁交A₁D于F，，利用三角形的中位线的性质，证明EF∥BD₁即可；
（II）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面A₁DE的一个法向量、面D₁A₁E的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解；
（III）利用分割法，多面体A₁D₁DBE的体积=VE-AA1D1D-VE-AA1D，由此可求体积．

解答：（I）证明：连接AD₁交A₁D于F，则F为中点，
连接EF，如图．
∵E为中点，∴EF∥BD₁．
又EF?面A₁DE，BD₁?面A₁DE，
∴BD₁∥面A₁DE
（II）解：由面ABCD⊥面ADD₁A₁，且四边形ADD₁A₁为正方形，四边形ABCD为矩形，得D₁D⊥AD，D₁D⊥DC，DC⊥DA．于是以D为原点，DA，DC，DD₁分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∴D（0，0，0）、D₁（0，0，1）、A₁（1，0，1）、E（1，1，0），
∴

DA1

=(1，0，1)、

DE

=(1，1，0)、

D1A1

=(1，0，0)、

D1E

=(1，1，-1)．
设面A₁DE的一个法向量为

n1

=（x₁，y₁，1），面D₁A₁E的一个法向量为

n2

=（x₂，y₂，1），
则

n1 • DA1 =0 n1 • DE =0

，

n2 • D1A1 =0 n2 • D1E =0

，即

x1+1=0 x1+y1=0

，

x2=0 x2+y2-1=0

解得：

n1

=（-1，1，1），

n2

=（0，1，1）．
设D₁-A₁E-D的大小为θ，于是cosθ=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

6

3

，
∴θ=arccos

6

3

，即二面角D₁-A₁E-D的大小为arccos

6

3

．
（III）解：多面体A₁D₁DBE的体积=VE-AA1D1D-VE-AA1D=

1

3

×AB×A1D1×DD1-

1

3

×EA×

1

2

×AA1×AD
=

1

3

×2×1×1-

1

3

×1×

1

2

×1×1=

1

2

．

点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查多面体体积的计算，考查利用向量知识解决立体几何问题，属于中档题．