Question

已知函数，g（x）=lnx．
（Ⅰ）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

 解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，符合题意．
当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为，
由于y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，
所以，解得a≤﹣2或a＞0，所以a＞0．
当a＜0时，不符合题意．
综上，a的取值范围是a≥0．
（Ⅱ）把方程整理为，
即为方程ax²+（1﹣2a）x﹣lnx=0．
设H（x）=ax²+（1﹣2a）x﹣lnx（x＞0），
原方程在区间（）内有且只有两个不相等的实数根，
即为函数H（x）在区间（）内有且只有两个零点=
令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或（舍）
当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．
H（x）在（）内有且只有两个不相等的零点，
只需即
∴解得，
所以a的取值范围是（）．