Question

已知函数f（x）=|x-a|-|x-a²|，f（1）＜0，则f（0）的取值范围（　　）

• A．(-∞，-2)∪(0，

  1

  4

  ]
• B．(-∞，

  1

  4

  ]
• C．（-∞，0）
• D．(-∞，0)∪(0，

  1

  4

  ]

Answer 1

分析：由于f（x）=|x-a|-|x-a²|，f（1）＜0，从而|1-a|-|1-a²|＜0求得a的范围，将f（0）=|a|-|a²|配方得-（|a|-

1

2

）²+

1

4

，根据二次函数f（x）=-（x-

1

2

）²+

1

4

性质结合图象可得f（0）=-（|a|-

1

2

）²+

1

4

的取值范围．

解答：解：∵f（x）=|x-a|-|x-a²|，f（1）＜0，
∴|1-a|-|1-a²|＜0⇒a＜-2或a＞0且a≠1．
∴f（0）=|a|-|a²|=-（|a|-

1

2

）²+

1

4

，
∵a＜-2或a＞0且a≠1，∴|a|＞0且|a|≠1，
根据二次函数y=-（x-

1

2

）²+

1

4

性质可得：
当|a|＞0且|a|≠1时，
f（0）=-（|a|-

1

2

）²+

1

4

，的取值范围(-∞，0)∪(0，

1

4

]
故选D．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、带绝对值的函数、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．