题目内容

已知曲线C：f（x）=x3-ax+a，若过曲线C外一点A（1，0）引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为
27
8
27
8
．
分析：通过导数求出切线斜率，利用切线的倾斜角互补，建立斜率关系，可求a．
解答：解：函数f（x）的导数为f'（x）=3x2-a，…（2分）
知f'（x）=3x2-a，过点A（1，0）作曲线C的切线，
设切点（x0，f（x0）），则切线方程为：y=（3x0-a）（x-1）…（9分）
将（x0，f（x0））代入得：f（x0）=
x
3
0
-ax0+a即2
x
3
0
-3x0=0   （*）
解得x0=0或x0=
3
2
…（12分）
故满足条件的切线只有两条，且它们的斜率分别为-a与
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4
-a，
因为两条切线的倾斜角互补，所以-a+
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4
-a=0，解得a=
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．         …（14分）
故答案为：
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．
点评：本题考查导数的单调性与导数之间的关系，以及利用导数求切线方程．
练习册系列答案
相关题目
已知曲线C：f（x）=3x2-1，C上的两点A，An的横坐标分别为2与an（n=1，2，3，…），a1=4，数列{xn}满足xn+1=
t
3
[f(xn-1)+1]+1(t＞0且t≠
1
2
，t≠1)、设区间Dn=[1，an]（an＞1），当x∈Dn时，曲线C上存在点pn（xn，f（xn）），使得点pn处的切线与AAn平行，
（I）建立xn与an的关系式；
（II）证明：{logt(xn-1)+1}是等比数列；
（III）当Dn+1?Dn对一切n∈N+恒成立时，求t的范围．
已知曲线C：f（x）=x3+1，则与直线y=-
1
3
x-4垂直的曲线C的切线方程为（　　）
已知曲线C：f（x）=x+
ax
（a＞0），直线l：y=x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为A，B．再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M，N，O是坐标原点．则△OMN与△ABP的面积之比为
8
8
．
（2009•温州二模）已知曲线C：f（x）=x3-ax+a，
（Ⅰ）若f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）过C外一点A（1，0）引C的两条切线，若它们的倾斜角互补，求a的值．
已知曲线C：f（x）=x3．
（1）利用导数的定义求f（x）的导函数f′（x）；
（2）求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程．

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