题目内容
已知点Pn（an，bn）（n∈N*）满足an+1=anbn+1，bn+1=| bn | ||
1-4
|
（Ⅰ）求经过点P1，P2的直线l的方程；
（Ⅱ） 已知点Pn（an，bn）（n∈N*）在P1，P2两点确定的直线l上，求证：数列{
| 1 |
| an |
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求对于所有n∈N*，能使不等式（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥k
|
分析：（Ⅰ）由b2=
=
，知P2(
，
)．由此知过点P1，P2的直线l的方程为2x+y=1．
（Ⅱ）由Pn（an，bn）在直线l上，知2an+bn=1．故bn+1=1-2an+1．由an+1=anbn+1，得an+1=an-2anan+1．由此知{
}是公差为2的等差数列．
（Ⅲ）由
=
+2(n-1)．，知
=1+2(n-1)=2n-1．所以an=
，bn=1-2an=
．依题意k≤(1+a1)(1+a2)(1+an)
恒成立．设F(n)=(1+a1)(1+a2)(1+an)
，所以只需求满足k≤F（n）的F（n）的最小值．
| b1 |
| 1-4a12 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（Ⅱ）由Pn（an，bn）在直线l上，知2an+bn=1．故bn+1=1-2an+1．由an+1=anbn+1，得an+1=an-2anan+1．由此知{
| 1 |
| an |
（Ⅲ）由
| 1 |
| an |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| 2n-1 |
| 2n-3 |
| 2n-1 |
| b2b3bn+1 |
| b2b3bn+1 |
解答：解：（Ⅰ）因为b2=
=
，所以a2=a1b2=
．所以P2(
，
)．（1分）
所以过点P1，P2的直线l的方程为2x+y=1．（2分）
（Ⅱ）因为Pn（an，bn）在直线l上，所以2an+bn=1．所以bn+1=1-2an+1．（3分）
由an+1=anbn+1，得an+1=an（1-2an+1）．即an+1=an-2anan+1．
所以
-
=2．所以{
}是公差为2的等差数列．（5分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得
=
+2(n-1)．
所以
=1+2(n-1)=2n-1．
所以an=
．（7分）
所以bn=1-2an=
．（8分）
依题意k≤(1+a1)(1+a2)(1+an)
恒成立．
设F(n)=(1+a1)(1+a2)(1+an)
，
所以只需求满足k≤F（n）的F（n）的最小值．（10分）
因为
=
=(1+an+1)
=
=
＞1，
所以F（n）（x∈N*）为增函数．（12分）
所以F(n)min=F(1)=
=
．
所以k≤
．所以kmax=
．（14分）
| b1 |
| 1-4a12 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
所以过点P1，P2的直线l的方程为2x+y=1．（2分）
（Ⅱ）因为Pn（an，bn）在直线l上，所以2an+bn=1．所以bn+1=1-2an+1．（3分）
由an+1=anbn+1，得an+1=an（1-2an+1）．即an+1=an-2anan+1．
所以
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| an |
（Ⅲ）由（Ⅱ）得
| 1 |
| an |
| 1 |
| a1 |
所以
| 1 |
| an |
所以an=
| 1 |
| 2n-1 |
所以bn=1-2an=
| 2n-3 |
| 2n-1 |
依题意k≤(1+a1)(1+a2)(1+an)
| b2b3bn+1 |
设F(n)=(1+a1)(1+a2)(1+an)
| b2b3bn+1 |
所以只需求满足k≤F（n）的F（n）的最小值．（10分）
因为
| F(n+1) |
| F(n) |
(1+a1)(1+a2)(1+an)(1+an+1)
| ||
(1+a1)(1+a2)(1+an)
|
=(1+an+1)
| bn+2 |
| 2n+2 | ||||
|
|
所以F（n）（x∈N*）为增函数．（12分）
所以F(n)min=F(1)=
| 2 | ||
|
2
| ||
| 3 |
所以k≤
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
点评：本题考查数列与解析几何的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选用公式．
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