Question

15．已知函数f（x）=e^x，g（x）=ax+b，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若a=-1，函数y=$\frac{1}{f（x）+g（x）}$在（0，+∞）上有意义，求b的取值范围；
（Ⅱ）若0≤2a≤b≤1，求证：当x≥0时，$\frac{1}{f（x）}$+$\frac{x}{g（x）}$≥1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=-1，函数y=$\frac{1}{f（x）+g（x）}$在（0，+∞）上有意义，等价为f（x）+g（x）≠0在（0，+∞）上恒成立，构造函数求出函数的导数，即可求b的取值范围；
（Ⅱ）将不等式进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性进行证明即可．

解答 解：（Ⅰ）若a=-1，g（x）=-x+b，
令h（x）=f（x）+g（x）=e^x-x+b，
若函数y=$\frac{1}{f（x）+g（x）}$在（0，+∞）上有意义，
则等价为h（x）=e^x-x+b≠0在（0，+∞）上恒成立，
函数的导数h′（x）=e^x-1，
当x＞0是，h′（x）＞0，即h（x）为增函数，
则只需要h（0）=1+b≥0即可，即b≥-1，
即b的取值范围[-1，+∞）；
（Ⅱ）当0≤2a≤b≤1，x≥0，ax+b＞0，
则不等式，$\frac{1}{f（x）}$+$\frac{x}{g（x）}$≥1等价为e^-x-1+$\frac{x}{ax+b}≥$0，
（e^-x-1）（ax+b）+x≥0，
即故只需要证明：（e^-x-1）（ax+b）+x≥0，
令φ（x）=（e^-x-1）（ax+b）+x，
则函数的导数φ′（x）=e^-x（a-b-ax）+1-a，
由（Ⅰ）知e^x≥x+1，从而-x≥1-e^x，
∴φ′（x）=e^-x（a-b-ax）+1-a≥e^-x[a-b+a（1-e^x）]+1-a=e^-x（2a-b）+1-2a，
∵0≤2a≤b≤1，
∴φ′（x）≥e^-x（2a-1）+1-2a=（1-2a）（1-e^-x）≥0，
∴φ（x）在[0，+∞）上为增函数，
∵φ（0）=0，
∴φ（x）≥0，
即原不等式成立．

点评 本题主要考查函数单调性的判断以及函数与不等式的综合应用，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．