Question

三棱柱ABC-A′B′C′中，点D为BC的中点，点O在AD的延长线上，且AD=DO，C′O⊥平面ABOC，AB⊥AC，AB=AC=OC′=1．
（1）判断直线AA′与BC是否垂直，并说明理由；
（2）求BB′与平面BOC′所成的角；
（3）若

DE

=λ

DB

(0＜λ＜1)，且二面角E-AC′-O的大小为

π

6

，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：建立以直线OC、OB、OC'分别为x、y、z轴的空间直角坐标系，分别求出两条直线所在的向量，再求出两个向量的数量积进而可以判断两条直线设法垂直．
（2）求出平面的法向量以及直线BB′所在的向量，进而利用向量的有关运算求出线面角．
（3）设E（x，y，z），根据向量关系求出点E的坐标，再求出平面AEC'的法向量与平面AOC'的法向量，然后结合二面角E-AC'-O的大小为

π

6

，即可求出λ的值．

解答：解：（1）由题意可得：建立以直线OC、OB、OC'分别为x、y、z轴的空间直角坐标系，
则B（0，1，0），O（0，0，0），C'（0，0，1），C（1，0，0），
所以

AA′

=

CC′

=(-1，0，1)，

BC

=(1，-1，0)，
所以

AA′

•

BC

=-1≠0，
∴直线AA'与BC不垂直…（3分）
（2）设平面BOC'的一个法向量为

n

=(-1，0，0)，

BB′

=

CC′

=(-1，0，1)，
∴cos?

BB′

，

n

＞=

1

2

=

2

2

，
∴?

BB′

，

n

＞=

π

4

∴BB'与平面BOC'所成的角等于

π

4

…（6分）
（3）设E（x，y，z），因为D(

1

2

，

1

2

，0)，并且

DE

=λ

DB

，
所以(x-

1

2

，y-

1

2

，z)=λ(-

1

2

，

1

2

，0)
∴x=

1

2

-

1

2

λ，y=

1

2

+

1

2

λ，z=0，…（8分）
设平面AEC'的法向量为

m

=(x′，y′，z′)，
所以

m

⊥

EA

，
因为

EA

=(

1

2

+

1

2

λ，

1

2

-

1

2

λ，0)，
所以(

1

2

+

1

2

λ)x′+(

1

2

-

1

2

λ)y′=0．
由

m

⊥

AC′

，并且

AC′

=(-1，-1，1)，所以可得x′+y′-z′=0．
∴当x'=λ-1时，y'=1+λ，z'=2λ，

m

=(λ-1，1+λ，2λ)，
因为平面AOC'的一个法向量为

BC

=(1，-1，0)，二面角E-AC'-O的大小为

π

6

所以|cos?

BC

，

m

＞|=

2

2 6λ2+2

=

3

2

，
可得λ2=

1

9

，
因为0＜λ＜1，
所以λ=

1

3

…（12分）

点评：本题主要考查线线垂直、线面角与面面角，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而建立空间直角坐标系利用空间向量的有关知识解决问题，这对同学们的运算能力有较高的要求．