题目内容

在直角坐标系中，O为坐标原点，设直线l经过点 $数学公式$ ，且与x轴交于点F（2，0）．
（I）求直线l的方程；（II）如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程．

解：（I）由于直线l经过点 $\text{[math]}$ 和F（2，0），
则根据两点式得，所求直线l的方程为 $\text{[math]}$ ．…（3分）
即 $\text{[math]}$ ．
从而直线l的方程是 $\text{[math]}$ ．…（7分）
（II）设所求椭圆的标准方程为 $\text{[math]}$ …（8分）
由于一个焦点为F（2，0），则c=2，即a²-b²=4①…（10分）
又点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，
则 $\text{[math]}$ ②…（12分）
由①②解得a²=12，b²=8．
所以所求椭圆的标准方程为 $\text{[math]}$ …（14分）
分析：（I）由于直线l经过点 $\text{[math]}$ 和F（2，0）根据直线方程的两点式可求．
（II）设所求椭圆的标准方程为 $\text{[math]}$ 由焦点为F（2，0），则a²-b²=4又点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ ，联立方程可求a，b进而可求椭圆的方程．
点评：本题主要考查了直线方程的两点式的应用，及利用椭圆的性质求解椭圆的方程，属于一般的性质应用及基本计算型的试题．