题目内容

已知函数 $数学公式$
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）向右平移m个单位（m＞0）使得图象关于y轴对称，求m的最小值；
（3）若 $数学公式$ ， $数学公式$ ，求cos2x₀的值．

解：（1） $\text{[math]}$ =2cosx（ $\text{[math]}$ cosx+ $\text{[math]}$ sinx）- $\text{[math]}$ sin²x+ $\text{[math]}$ sin2x
= $\text{[math]}$ cos2x+sin2x= $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ ，k∈Z，解得 $\text{[math]}$ ，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间为 $\text{[math]}$ ，k∈Z．
（2）f（x）右移m个单位后，得到函数为 $\text{[math]}$ ，由于图象关于y轴对称，
∴ $\text{[math]}$ ，k∈Z．∴ $\text{[math]}$ ．
∵m＞0，∴k=-1时， $\text{[math]}$ ．
（3）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，故cos（ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ．
cos2x₀=cos[（ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]=cos（ $\text{[math]}$ ）cos $\text{[math]}$ +sin（ $\text{[math]}$ ）sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 求出x的范围，即得f（x）的单调递减区间．
（2）利用函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换求出g（x）的解析式为 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，k∈Z，
及m＞0，求出m的最小值．
（3）由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解出 $\text{[math]}$ 的值，并根据 $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，求出cos（ $\text{[math]}$ ）的值，由cos2x₀=cos[（ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]利用两角差的余弦公式求得结果．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．