Question

设函数f（x）=lg

1x+2x+3x+…+(m-1)x+mxa

m

，其中a∈R，m是给定的正整数，且m≥2．如果不等式f（x）＞（x-1）lgm在区间[1，+∞）上有解，则实数a的取值范围是

a＞

1

2

．

Answer 1

分析：根据题意，将原不等式等价变形为：（1-a）m^x＜1^x+2^x+3^x+…+（m-1）^x，再变量分离得到1-a＜（

1

m

）^x+（

2

m

）^x+（

3

m

）^x+…+（

m-1

m

）^x，原不等式在区间[1，+∞）上有解，即1-a小于右边的最大值．根据指数函数的单调性得到右边的最大值为

3-m

2

，最后结合m≥2即可得到实数a的取值范围．

解答：解：不等式f（x）＞（x-1）lgm，即
lg

1x+2x+3x+…+(m-1)x+mxa

m

＞lgm^x-1，
∵常用对数的底10＞1，
∴原不等式可化为1^x+2^x+3^x+…+（m-1）^x+m^xa＞m^x，
移项得（1-a）m^x＜1^x+2^x+3^x+…+（m-1）^x，
因为m是正整数，所以两边都除以m^x，得
1-a＜（

1

m

）^x+（

2

m

）^x+（

3

m

）^x+…+（

m-1

m

）^x，…（*）
不等式f（x）＞（x-1）lgm在区间[1，+∞）上有解，即（*）式的右边的最大值大于1-a
∵g（x）=（

1

m

）^x+（

2

m

）^x+（

3

m

）^x+…+（

m-1

m

）^x在[1，+∞）上是一个减函数
∴当x=1时，g（x）的最大值为

1

m

+

2

m

+

3

m

+…+

m-1

m

=

1

m

×

m(m-1)

2

=

m-1

2

因此1-a＜

m-1

2

，得实数a的取值范围是a＞

3-m

2

，结合m≥2得a＞

1

2

故答案为：a＞

1

2

点评：本题给出对数型函数，求一个不等式在区间上有解的参数a的取值范围，着重考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了学生对基本初等函数的掌握，属于中档题．