Question

已知数列{a_n}的前项和为S_n，点（n，S_n）在函数y=

3

2

x2+

5

2

x的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）设b_n=2ⁿa_n，求数列{b_n}的前项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据点（n，S_n）在函数y=

3

2

x2+

5

2

x的图象上，把点（n，S_n）代入得到Sn=

3

2

n2+

5

2

n，然后根据a_n=S_n-S_n-1解出数列{a_n}的通项a_n，
（Ⅱ）把a_n=3n+1代入b_n=2ⁿa_n中，对数列{b_n}进行求和得T_n=4•2¹+7•2²+10•2³+…+（3n+1）•2ⁿ，然后再求出2T_n=4•2²+7•2³++（3n-2）•2ⁿ+（3n+1）•2ⁿ⁺¹，两式相减即可求得数列{b_n}的前项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）依题意有Sn=

3

2

n2+

5

2

n，当n=1时，a1=S1=

3

2

+

5

2

=4．（2分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

3

2

n2+

5

2

n-[

3

2

(n-1)2+

5

2

(n-1)]=3n+1，（5分）
综上，a_n=3n+1，（6分）
（Ⅱ）b_n=（3n+1）•2ⁿ．T_n=4•2¹+7•2²+10•2³+…+（3n+1）•2ⁿ①，（8分）
2T_n=4•2²+7•2³++（3n-2）•2ⁿ+（3n+1）•2ⁿ⁺¹②，（10分）
①-②整理得T_n=3n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²+4．（12分）

点评：本题主要考查数列求和和求等差数列的通项的知识点，会运用错位相减法求数列的和，本题难度较小．