Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n是数列{

1	lg(an)•lg(an+2)

}的n项和，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=9S_n-1+10 ①，又a_n+1=9S_n+10 ②，两式相减可得递推式，连同a₂与a₁的关系，可判断数列{a_n}为等比数列，从而可得a_n；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）求出lg a_n，lga_n+2，进而可得

1

lg(an)•lg(an+2)

，拆项后利用裂项相消法可求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）依题意，a₂=9a₁+10=100，故

a2

a1

=10，
当n≥2时，a_n=9S_n-1+10 ①，
又a_n+1=9S_n+10 ②，
②-①整理得：

an+1

an

=10，
故{a_n}为等比数列，且a_n=10•10^n-1=10ⁿ；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，a_n=10ⁿ，∴lg a_n=n，lga_n+2=n+2，
∴

1

lg(an)•lg(an+2)

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

．

点评：本题考查数列的求和、由递推式求数列通项，考查学生分析解决问题的能力，（Ⅰ）问中要注意n的取值范围，要检验n=1时的情形．