Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），且f′（0）=2n，n∈N^*．
（1）若数列{a_n} 满足

1

an+1

=f′(

1

an

)，且a₁=4，求数列{a_n} 的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：b₁=1，bnbn+1=

1

2

an+1

，当n≥3，n∈N^*时，求证：①b2n＜b2n+1＜b2n-1(n∈N*)；②b1+b2+b3+…bn＞

2n+1

-1．

Answer 1

（1）求导函数可得f′（x）=2ax+b，由题意知b=2n，16n²a-4nb=0
∴a=

1

2

，b=2n，则f（x）=

1

2

x²+2nx，n∈N^*．             （2分）
∵数列{a_n} 满足

1

an+1

=f′(

1

an

)，f′（x）=x+2n，
∵

1

an+1

=

1

an

+2n，∴

1

an+1

-

1

an

=2n，
∵a₁=4，

1

an+1

-

1

4

=2+4+…+2(n-1)=n2-n
∴

1

an

=(n-

1

2

)2
∴an=

4

(2n-1)2

   （6分）
（2）证明：①由b₁=1得b2=

1

3

，由bnbn+1=

1

2

an+1

=

1

2n+1

得

bnbn+1

bn+2bn+1

=

2n+3

2n+1

即

bn+2

bn

=

2n+1

2n+3

，∴

b2n+1

b2n-1

=

4n-1

4n+1

＜1，∴b_2n+1＜b_2n-1
由

bn+2

bn

=

2n+1

2n+3

及b₁=1，b2=

1

3

可得：b2n=

1

3

•

5

7

•…•

4n-3

4n-1

，b2n+1=

3

5

•

7

9

•…•

4n-1

4n+1

∵

4n-3

4n-1

＜

4n-1

4n+1

，∴b_2n＜b_2n+1（10分）
②由bnbn+1=

1

2

an+1

=

1

2n+1

得

1

bnbn+1

=2n+1，

1

bn+2bn+1

=2n+3
相减得bn+1=

1

2

(

1

bn+2

-

1

bn

)
由①知：b_n≠b_n+1
所以b1+b2+b3+…bn=1+

1

2

(

1

b3

-

1

b1

+

1

b4

-

1

b2

+…

1

bn+1

-

1

bn-1

)=1+

1

2

(-

1

b1

-

1

b2

+

1

bn+1

+

1

bn

)=-1+

1

2

(

1

bn+1

+

1

bn

)＞-1+

1 bn+1 1 bn

=

2n+1

-1（14分）