Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，M、N分别为AA₁、BB₁的中点，求CM与D₁N所成角的余弦值

1

9

．

Answer 1

分析：先建立空间直角坐标系，再写出相关点的坐标，得到异面直线方向向量的坐标，利用向量夹角公式计算所得向量夹角的余弦值，最后得异面直线所成角的余弦值，注意异面直线所成的角范围为（0，

π

2

]，故面直线所成角的余弦值应为向量夹角的余弦值的绝对值．

解答：解：如图，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（2，2，0），M（0，0，1），N（2，0，1），D₁（0，2，2）
∴

CM

=（-2，-2，1），

D1N

=（2，-2，-1）
∴cos＜

CM

，

D1N

＞=

CM • D1N

| CM ||  D1N |

=

-1

3×3

=-

1

9

∵异面直线所成的角范围为（0，

π

2

]
∴CM与D₁N所成角的余弦值为

1

9

故答案为

1

9

点评：本题考察了异面直线所成的角的求法，利用空间直角坐标系和空间向量解决空间角的计算问题，将几何问题转化为代数问题的思想方法