Question

给出下列四个命题：
①f（x）=sin（2x-

π

4

）的对称轴为x=

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z；
②函数f（x）=sinx+

3

cosx的最大值为2；
③函数f（x）=sinx•cosx-1的周期为2π；
④函数f（x）=sin（2x+

π

4

）在[0，

π

2

]上的值域为[-

2

2

，

2

2

]．
其中正确命题的是

①②

．

Answer 1

分析：①f（x）=sin（2x-

π

4

）的对称轴满足2x-

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，由上能判断①的真假；
②函数f（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

），由此能判断②的真假；
③函数f（x）=sinx•cosx-1=

1

2

sin2x-1，由此能判断③的真假；
④函数f（x）=sin（2x+

π

4

）在[0，

π

2

]上的值域为[-

2

2

，1]，由此能判断④的真假．

解答：解：①f（x）=sin（2x-

π

4

）的对称轴满足2x-

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，
解得x=

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z，故①是真命题；
②∵函数f（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

）∈[-2，2]，
∴函数f（x）=sinx+

3

cosx的最大值为2，故②是真命题；
③∵函数f（x）=sinx•cosx-1=

1

2

sin2x-1，
∴函数f（x）=sinx•cosx-1的周期为π，故③是假命题；
④∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴函数f（x）=sin（2x+

π

4

）在[0，

π

2

]上的值域为[-

2

2

，1]，
故④是假命题．
故答案为：①②．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，是基础题．解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．