Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为A_n，a₁+a₅=6，A₉=63．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和A_n；
（2）数列{b_n}的前n项和B_n满足：6Bn=8bn-1，(n∈N*)，数列{a_n•b_n}的前n项和为S_n，求证：

Sn

4n

≥-

1

8

．

Answer 1

分析：（1）利用基本量法，确定数列的首项与公差，即可得到数列的通项与前n项和；
（2）再写一式，两式相减，确定数列{b_n}的通项，再利用错位相减法求和，利用数列的单调性，即可证得结论．

解答：（1）解：∵A₉=63，∴9a₅=63，∴a₅=7
∵a₁+a₅=6，∴a₁=-1，∴d=

a5-a1

4

=2
∴a_n=2n-3，A_n=

n(-1+2n-3)

2

=n²-2n
（2）证明：∵6Bn=8bn-1，6Bn-1=8bn-1-1，(n≥2，n∈N*)
∴两式相减可得：6b_n=8b_n-8b_n-1
∴

bn

bn-1

=4（n≥2）
∵6b₂=8b₁-1
∴b₁=

1

2

∴b_n=2^2n-3
∴a_nb_n=（2n-3）•2^2n-3
∴S_n=-1•2^-1+1•2¹+…+（2n-3）•2^2n-3
∴4S_n=-1•2¹+1•2³+…+（2n-3）•2^2n-1
两式相减可得-3S_n=

(11-6n)22n-11

6

∴

Sn

4n

=

6n-11

18

+

11

18•4n

∴

Sn+1

4n+1

-

Sn

4n

=-

11

6×4n+1

＞0
∴

Sn

4n

随着n的增大而增大
∴

Sn

4n

≥

S1

4

=-

1

8

点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，考查错位相减法求和，解题的关键是确定数列的通项．