Question

在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，P=（a+c，b），Q=（c-a，b-c），且p⊥q．
（1）求A的大小；
（2）记f(B)=2sin2B+sin(2B+

π

6

)，求f(B)的值域．

Answer 1

分析：（1）根据两个向量垂直，得到两个向量的数量积等于0，得到关于三角形的边长之间的关系，符合余弦定理，根据角A的范围和余弦值，做出角A的大小．
（2）首先对所给的三角函数式进行整理，利用二倍角公式和两角和与差的正弦公式，得到y=sin(2B-

π

6

)+1，根据角B的范围，确定所用的角的范围，根据正弦函数的值域得到结果．

解答：解：（1）由题意知

p

⊥

q

，所以

p

•

q

=（a+c）（c-a）+b（b-c）=0，
即b²+c²-a²=bc．
在△ABC中，由余弦定理，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

．
又∵A∈(0，π)，所以A=

π

3

．
（2）f(B)=2sin2B+sin(2B+

π

6

)=1-cos2B+(

3

2

sin2B+

1

2

cos2B)=sin(2B-

π

6

)+1．
又△ABC为锐角三角形，
所以B∈(0，

π

2

)，C=

2π

3

-B∈(0，

π

2

)，
即

π

6

＜B＜

π

2

，所以

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

，
所以

1

2

＜sin(2B-

π

6

)≤1，
故f(B)的值域为(

3

2

，2]．

点评：本题考查及三角形的问题，考查三角函数的恒等变形化简求值，角的范围的讨论和三角函数在某一个区间上的最值，本题解题的关键是对于函数式的整理，本题的易错点是对于角的范围的分析，注意三角形中的隐含条件，本题是一个中档题目．